第二章 相似圆形
3.形状相同的图形
【基础知识精讲】
结合具体实例认识形状相同的图形的特征．
体会相似图形在现实中的广泛应用，进一步增强数学应用意识．
【重点难点解析】
生活中形状相同的图形到抽象的几何图形形状相同，这是本课的重点．
A．重点、难点提示
1．形状相同的图形是相似图形的基础．
2．判断形状相同的图形．
3．相似多边形的相似比(相似系数)的概念．
B．考点指要
形状相同的图形是相似的基础知识，主要是判断图形的形状相同．现在主要是把一个图形放大或缩小．
我们在日常生活中或者是在数学的学习中，经常会遇到形状相同的图形，要学会判断和理解、掌握．
相似多边形的定义：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形的对应边的比叫做相似比(或相似系数)．
两个多边形的边数不同一定不是相似多边形，两个多边形的边数相同不一定是相似多边形．
定义中“对应角相等”、“对应边成比例”是判定两个多边形是否相似的必备的条件，缺一不可．
两个相似多边形的相似比是有顺序的．
4.相似三角形
【基础知识精讲】
本节的主要内容是相似三角形的有关概念和定理：“平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.”
1.相似三角形的概念
定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形，△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽A′B′C′.
相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)，若△ABC与△A′B′C′的相似比为k(k＞0)，则△A′B′C′与△ABC的相似比为 
.
2.相似三角形的基本定理
定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.
定理的基本图形：如图5.3－1
3.相似三角形的传递性
如果△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″
4.相似三角形与全等三角形
全等三角形是相似比为1的相似三角形
全等三角形与相似三角形的比较如下表
|
名称 |
图形 |
性质 |
|
|
对应角 |
对应边 |
||
|
全 等 三 角 形 |
△ABC△A′B′C′ |
∠A＝∠A′ ∠B＝∠B′ ∠C＝∠C′ (对应角相等) |
AB＝A′B′ BC＝B′C′ AC＝A′C′ (对应边相等) |
|
相 似 三 角 形 |
△ABC∽△A′B′C′ |
∠A＝∠A′ ∠B＝∠B′ ∠C＝∠C′ (对应角相等) |
(对应边成比例) |
【重点难点解析】
重点：相似三角形定义.
难点：确立相似三角形的对应元素.
例1 判断下列两组三角形是否相似，并说明理由：(1)△ABC和△A′B′C′，都是等边三角形；(2)△ABC中∠C＝90°，AC＝BC，△A′B′C′中∠C′＝90°，A′C′＝B′C′.
分析 要想判断三角形是否相似，就目前而言，只能用相似三角形的定义及相似三角形的预备定理.本题两组三角形都无平行这个条件，故只能根据定义，也就是要找出两三角形对应角相等，对应边都成比例.
解：(1)∵△ABC和△A′B′C′都是等边三角形
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠A′＝∠B′＝∠C′＝60°
AB＝AC＝BC，A′B′＝A′C′＝B′C′
∴ 
＝ 
＝ 
∴△ABC∽△A′B′C′
(2)∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC
∴∠A＝∠B＝45°
设AC＝k，A′C′＝k′
则AB＝ 
＝ 
k
同理可证∠A′＝∠B′＝45°
A′B′＝ k′
∴∠C＝∠C′，∠B＝∠B′，∠A＝∠A′
＝ 
＝ 
， ＝ ＝
∴ ＝ ＝
∴△ABC∽△A′B′C′
例2 如图5.3－2，D在△ABC的AB边上，且DE∥BC交AC于E、F在AD上，且AD2＝AF·AB，求证：△AEF∽△ACD.
分析 要证明△AEF∽△ACD，在目前情况下，只能用相似三角形定义或预备定理.因此只需证EF∥CD，转证AD与AC被EF所截得的对应线段成比例即可，要善于用中间的比推导线段成比例.
证明：∵DE∥BC ∴ 
＝ 
∵AD2＝AF·AB
∴ ＝ 
∴ ＝
∴△AEF∽△ACD